Uma prova de alto nível

Eis agora uma prova de fundamentos de matemática da Universidade Estadual de Maringá, realizada dia 13 de dezembro de 2005. Esta prova, de autoria de Valdeni Soliani Franco, apresenta um altíssimo nível de elaboração e certamente avalia o aluno de forma extraordinária.

A matéria é Geometria Espacial, vista de forma axiomática.

Não, não fui bem. Geometria não é meu forte, mas eu tiro o chapéu para esta prova. O exercício 4 é maravilhoso. Vamos lá

1ª QUESTÃO: Se uma das diagonais de um losango é perpendicular a um plano PI, pede-se:
a) Qual é a posição relativa da outra diagonal e o plano PI?
b) O que é a projeção ortogonal do losango no plano PI?
c) Onde se localiza a projeção ortogonal do encontro das diagonais no plano PI, em relação a projeção obtida no item b?

2ª QUESTÃO: Sejam PI e PSI dois planos que se interceptam numa reta r. Seja A em PSI e B em r, tais que AB é perpendicular a r. Seja C a projeção ortogonal de A em PI. Suponhamos que m(AB) = 2m(BC).
a) Mostre que r é perpendicular ao plano pl(ABC).
b) Calcule o ângulo entre os planos PSI e PI.
c) Se D é um ponto de r tal que m(BD) = 5cm e m(BC) = 3cm, calcule o volume do tetraedro ABCD.

3ª QUESTÃO: Chamamos de plano bissetor de um diedro D, o plano que divide o ângulo diedro em dois diedros congruentes. Construa, justificando a construção, o plano bissetor de D.

4ª QUESTÃO: Dada uma esfera S e uma reta r, tal que a intersecção de S e r é vazia, construa dois planos tangentes a S que contenham r, justificando a construção.

5ª QUESTÃO: Um poliedro convexo P possui 7.654 faces, todas triangulares. Entre as cinco afirmações abaixo, apenas uma é correta. Encontre a correta, justificando sua escolha. Justifique também, por que os outros itens são incorretos.
a) P tem 11.482 arestas.
b) Um tal poliedro não pode existir.
c) Cada vértice de P pertence a exatamente duas faces.
d) P tem 3.829 vértices.
e) As arestas de P têm todas o mesmo comprimento.

BOA PROVA A TODOS

é lindo!